医学数字成像和通讯
14章：灰阶标准显示函数
首都医科大学宣武医院 冯树理
DICOM（Digital Imaging and Communications in Medicine）是由美国放射学会（The American College of Radiology ：ACR） 和（美国的）国家电器制造商联合会（National Electrical Manufacturers Association ：NEMA）共同成立了一个联合委员会，开发出的医学数字成像和通讯的标准。
这个标准包含了医学数字图像的格式、存储、传输、显示等等各个方面。这个标准在1989年被ISO（international standard organization国际标准化组织）和IEC（International electrical commission国际电工委员会）采认为国际标准。现在这个标准在医学影像领域占有十分重要的地位，已成为医学图像领域的主流，众多国家、企业、医院、以及科研单位都依照这个标准来处理图像。
DICOM标准在上个世纪80年代初出现最早的版本，80年代末90年代初推出了比较成熟的DICOM3版本，2001年又对其进行了进一步的完善。
整个共有16部分（章）组成，每一部分都针对一个专题进行阐述，第14部分（章）专门针对图像的显示进行了专门的说明。
第14章由于牵扯到许多有关光学、图像显示理论知识，一般人理解起来比较困难，今天我主要对第14章的内容与大家一起进行专门的讨论。期望大家在使用、研究这个标准的工作中有所帮助。
这个讲稿的内容完成的比较仓促，其中错误在所难免，如错误之处给阅读者带来不便，敬请谅解！
目录
前言
1 应用范围和领域
2 标准参考
3 定义
4 符号和缩写
5 习语
6 综述
7 标准显示函数
7.1 一般规则
7.2 透射硬拷贝打印机
7.3 反射硬拷贝打印机
8 参考
附录 A（背景知识）标准显示函数的引出
A.1. 选择标准显示函数的理论基础
A.2. BARTEN模型的细节
A.3. 参考资料
附录B （背景知识）标准显示函数表格
附录C （背景知识）与灰度标准显示函数相一致的显示系统精确性测量
C.1.关于顺应性和度量的一般性考虑
C.2.方法
C.3.参考资料
附录D （背景知识）对于达到标准顺应性的说明
D.1发射显示系统
D.1.1系统特性曲线的测量
D.1.2标准公式的应用
D.1.3标准的执行
D.1.4顺应性的测量
D.2透射硬拷贝设备
D.2.1系统特征曲线的测量
D.2.2标准公式的应用
D.2.3标准的执行
D.2.4顺应性的测量
D.3反射硬拷贝设备
D.3.1. 系统特征曲线的测量
D.3.2. 标准的应用
D.3.3标准的执行
D.3.4顺应性的测量
附录E （背景知识）环境光下显示的可感觉差异范围
前言
美国放射学会和国际电气制造商联合会共同成立了一个联合委员会，开发医学数字成像和通讯的标准。DICOM标准的其他部分指出了数字图像是如何从一个系统传递到另一个系统的，但并未说明像素值是如何被解释和显示的。PS 3.14提出了将像素值与所显示的亮度级别相关联的函数。
图像中的数字信号可以客观精确的进行测量、描述、传递和重建。然而，此信号的可视化建立在系统显示图像特征的基础上。目前，由相同信号构成的图像在不同显示设备上可具有完全不同的可视外观、信息和特征。
在医学成像中，不论怎样观察，数字图像保持可视一致性是非常关键的，比如不论在工作站的显示器，还是用胶片在灯箱上观察。如果缺乏一个标准对这些图像在不同设备上显示进行规范的话，在一种设备上看来具有很好的诊断价值的图像，在另一种设备上的显示效果可能完全不同，并且诊断价值大大降低。相应的，PS 3.14提供了一个客观、定量的机制，将数字图像映射到大范围的灰度上去。了解像素数值与显示灰度对应关系的软件可以使同一图像在不同设备上显示时保证良好的一致性。PS 3.14对图像像素值与显示灰度对应关系的定义是建立是基于测量值和大范围灰度的人体感知体模，而不是基于在某一图像显示设备或某一成像形式的特征。此定义的建立与在用户参数设置无关，这些用户参数设置可通过DICOM显示查找表进行适当的控制。
PS 3.14接受了其他标准化组织，如欧洲的CEN TC251，日本的JIRA，及其他组织，如IEEE的HL7,和美国的 ANSI的审评。
PS 3.14按照NEMA程序制定。
PS 3.14由以下文献建立的指导方针构成。
ISO/IEC Directives, 1989 Part 3 :国际标准的起草和表述。
1．应用范围和领域
PS 3.14为显示灰阶图像提供了一个标准显示函数。它用一些示例说明了测量特定显示系统的特性曲线的方法，测量此曲线的目的是为了与灰阶标准显示函数匹配而调整显示系统，或为了测量显示系统与灰阶标准显示函数的一致性。显示系统包括监视器及其相关驱动电路以及产生可在灯箱上观察的胶片的打印机或交流发电机。
PS 3.14并不是一个关于图像的性能和显示的标准。PS 3.14并没有规定一个图像显示设备必须提供的亮度及亮度范围，或者光学密度范围。
PS 3.14并没有规定某一特定图像形式中的特定像素值要如何被显示。
PS 3.14并未制定显示彩色图像的函数，PS 3.14提出的函数仅限于显示灰度图像。
.
2．标准正本
ISO/IEC , 1989 指导手册第三部分——国际标准的起草和表述，是本标准的正式有效的文本。所有标准的修订，以及基于此标准的各部分的修改要以ISO/IEC1989指导书为准。
3．一些定义
PS 3.14需要用到以下定义。
特性曲线：包括环境光效果的显示系统的内在显示函数。特性曲线描述了亮度与发射性显示设备DDL的关系，如CRT/显示控制器系统，或打印介质反射光的亮度，或由光学密度测量的亮度与硬拷贝介质的DDL和给定光箱亮度的关系。特性曲线取决于显示系统的操作参数。
注：发射性显示器产生的亮度可通过光度计测量。硬拷贝设备的发散光学密度可通过密度计测量。
相对灵敏度：表征在标准目标亮度改变时一般人观察的灵敏度。相对灵敏度与极限调制度成反比。
对比度阈：在亮度范围内划分刚好可区分两种亮度差别的函数。
数字驱动级别(DDL)：作为输入使得显示系统产生亮度的`数字值。显示系统的DDL设置是能使显示设备产生亮度信号的所有可能离散值。显示系统的DDL与亮度值的对应关系构成了该显示系统的特性曲线。对于给定的DDL，实际的输出与特定的显示系统有关，不须对标准灰度函数进行校正。
显示函数：描述显示系统的灰度重现的函数以及在特定空间内DDL与亮度的映射，此处的亮度包括显示系统在此空间内调节的环境光效果。与特性曲线不同，特性曲线是显示系统的内在显示函数。
显示系统：接受DDL以产生相应亮度值的一个或一套设备。包括发射型显示器，可于灯箱上观看的发射型硬拷贝，反射型硬拷贝。
照度：显示系统周围环境发出的照亮显示介质的光。它对亮度的贡献在于观察者可在图像显示中接受到。环境光降低了图像的对比度。
极限分辨差别(JND)：在给定的观察条件下，一般观察者所能察觉的最小亮度差别。
JND指数：灰度标准显示函数的输入值，JND指数的每一改变导致了一个亮度差。
亮度：是照射在给定方向上单位面积上的发光强度。国际单位为烛光每平方米(cd/m2)，有时也称为尼特。另一个常用单位是每平方英尺中的朗伯数(fL)，1 fL = 3.426 cd/m2。
亮度范围：显示系统最小亮度与最大亮度间的范围值。
P-值：在可感知的线性灰度空间中定义的与设备无关的值。P-值是DICOM 描述 LUT的输出，如所有DICOM定义的灰阶被转化后的像素值。P-值是标准显示系统的输入。
标准灰阶显示函数：在PS 3.14中定义的输入JND指数与亮度值的对应关系的数学定义。
标准显示系统：与在灰度标准显示函数中输入的P-值相对应的，可产生亮度值的一个设备或一些设备。这是怎样实现的并未定义，尽管可能通过将P-值输入显示系统的DDL来实现。
标准亮度级别：在表B-1中列出的任何标准亮度级别。
标准靶目标：一个2-deg x 2-deg的方形，内含垂直或水平栅栏及每度为4个周期的正弦调制。此方形放置在与目标平均亮度相当的标准背景中。
注：标准靶目标根据对应的观察角度，而不是观察者距目标的距离而定义。
极限调制度：在平均亮度级别下，普通观察者能分辨的最小亮度调制。极限调制度与标准靶目标的极限分辨差别相对应。
4．符号和缩语
PS 3.14中用到了下列符号和缩语。
ACR 美国放射学会
ANSI 美国国家标准委员会
CEN TC251 欧洲标准化委员会-技术委员会 251-医学信息学
DICOM 医学数字成像及通讯
HL7 医药卫生信息交换标准
IEEE 电子电器工程师协会
ISO 国际标准化组织
JIRA 日本放射设备产业联合会
NEMA 国家电器制造商联合会
5．习语
PS 3.14中用到了以下习语：
在第3部分中定义的术语在PS 3.14中以大写表示。
6．综述
PS 3.14以数学角度定义了标准显示系统的灰度标准显示函数。这些系统可以是产生在灯箱上观察的硬拷贝的打印机图像，也可以是面向软拷贝的电子显示系统。
硬拷贝可由透射的胶片和反射照片构成。这些反射照片上的图像通过光学密度的变化或漫反射重现。对于观察者来说，图像上每一个具有特定亮度的元素都取决于像素的亮度和光学密度。
软拷贝可由发射型显示系统（如CRT‘阴极射线管’显示器）或光电子管（如光源和液晶显示器）产生。
PS 3.14的目的在于，显示系统通过数字驱动级别产生亮度或光学密度的变化来重现图像。DICOM标准中指出的图像变换的可能应用，如形态特征，感兴趣值，显示查询表等，都要求有关显示系统特性曲线的知识。显示系统预期响应函数的标准化简化了图像在不同显示系统如在网络环境中的传递。
PS 3.14并未定义何时实现了与标准灰阶显示返程一致，也未定义如何表现达到一致的程度。
注：一致性的定义需要对人类观察系统对医学图像标准灰阶显示函数偏差的敏感度进行全面的评估。
图6-1和6-2展示了灰度标准显示函数的应用背景。灰度标准显示函数是图像重现的一部分。在应用灰度标准显示函数之前还要对图像进行一些其他的修正。图像获取设备要在图像形成时对其进行调整。其他元素会作为“窗口和水平”以选择图像的一个动态范围进行重现。其他元素也会在显示之前对所选择的动态范围进行调整。LUT（Lookup Table）输出P-值。这些P-值成为标准显示系统的数字驱动级别。灰度标准显示函数将P-值与标准显示系统输出的亮度进行映射。标准显示系统如何执行这种映射是依赖于具体实现方法的。
用P-值表示的图像获取和重现链的DICOM模型与标准显示系统的边界被规定为是与设备无关的，并且是线性概念的。或者说，不考虑标准显示系统的实际性能，这样的P-值范围的重现结果是相同的。
注：LUT重现可能为恒等函数，例如，极性不变并且感兴趣值改变输出P-值。
图6-1 灰度标准显示函数是图像获取和重现链上的元素之一
图6-2 标准显示系统的概念模型通过非标准显示系统的数字驱动级别的中介转化，将P-值和亮度进行映射。
PS 3.14的主要目的是以数学的形式为图像重现系统定义一个适当的灰度标准显示函数。定义此函数的目的是使得应用软件事先了解P-值是怎样转化为标准显示系统的显示亮度值的。灰度标准显示函数的定义基本上确定了显示LUT输出的P-值和标准显示系统数字驱动级别的单位。
PS 3.14的另一个目的是选择一个显示函数，此函数可以为给定图像在不同亮度的显示系统上表现出的灰度感或基本外貌呈现某种水平的相似性，并且为给定显示系统提供便于使用的数字驱动级别。虽然有许多不同的函数都可实现第一个目的，但灰度标准显示函数才可足满第二个目的。在此函数作用下，P-值与人类的感知响应近似呈线性关系。相似性并不保证相同的信息含量。据有较广的亮度范围或/和较高亮度的显示系统更利于极限亮度分辨的表达。相似性同样不意味着严格的感知线性，因为感知依赖于图像内容以及观察者。为了得到严格的感知线性，应用软件需要通过应用DICOM标准的其它结构（如感兴趣区和显示LUT）对重现的图像进行调节和用户的期望相匹配。没有定义显示函数的话，很难对网络中的多种多样的显示系统作出调整。
函数的选择建立在附录A中讨论的几种思想上。
附录B包括了表格形式的灰度标准显示函数。
资料丰富的附录C举例说明了实际显示函数和灰度标准显示函数数学形式上的比较，以及实际的离散亮度序列对灰度标准显示函数的定量映射。
显示系统的特性曲线通常与灰度标准显示函数不同。这些设备具有定义的外观混合转化方法使设备与灰度标准显示函数相一致。PS 3.14举例说明了显示系统的可测量其性能的测试体模以及对灰度标准显示函数的近似值估计（见附录D.1, D.2, D.3的内容）。
7 灰度标准显示函数
正如在附录A中详细阐述的，灰度标准显示函数是基于人类对比灵敏度建立的。显然，在灰度标准显示函数的亮度范围内，人类对比灵敏度是非线性的。与在图像中明亮的区域相比，人眼在图像较暗区域的灵敏度较低。这种灵敏度的变化使得人眼在图像较明亮的区域更能分辨出亮度的变化。能调节亮度以均衡P-值变化的显示函数可使得在不同驱动级别得到相同水平的感知度，此过程称为感知线性化。灰度标准显示函数包含了感知线性化的概念，但并未使之成为PS3.14的直接目的。
对比灵敏度采用的数据取自人体视觉系统的Barten模型(参考资料1, 2 和附录 B)。灰度标准显示函数引用的对比灵敏度的标准把由一个2-deg x 2-deg的正方形构成，正方形内为每度4个周期的水平或垂直的正弦调制栅。此正方形放置在与靶平均亮度相同的标准亮度背景下。对比灵敏度定义为普通人类观察者在栅栏刚好可见时的极限调制度。亮度调制反映了在亮度L下靶子刚刚可见的差异(JND)。
注：标准靶的理论性质是经过验证的。PS 3.14的基本目的通过简单的靶就可以实现。制定PS 3.14时已经了解到实际在复杂环境中的靶会产生的不合逻辑的结果，这些并未评定。
灰度标准显示函数定义的亮度范围是从0.05到4000烛光每平方米。最低的亮度与阴极射线管监视器的最低使用亮度相当，最高亮度比读X线乳房摄影用的灯箱亮度还要高。显然，灰度标准显示函数包括环境光散射亮度的效果。
在亮度范围内正好为1023JND（见附录A）。
7.1 一般公式
灰度标准显示函数通过对Barten模型的1023阶灰度数学插值定义。灰度标准显示函数允许我们计算亮度L，单位为烛光每平方米。L是JND指数j的函数：
其中Ln代表自然对数，j（1到1023）是JNDs的亮度级Lj的序数，并且
a = -1.3011877,
b = -2.5840191E-2,
c = 8.0242636E-2,
d = -1.0320229E-1,
e = 1.3646699E-1,
f =2.8745620E-2,
g = -2.5468404E-2,
h = -3.1978977E-3,
k = 1.2992634E-4,
m = 1.3635334E-3.
亮度Lj以10 为底的对数通过函数在整个亮度范围内进行内插。函数相应的对数方差不超过0.3%，均方根误差为0.0003。灰度标准显示函数的连续表示允许用户在任意的起始级别、在任意的期望亮度范围内计算JNDs的离散值。
注：1、对特定的具有亮度L的一个显示系统来说，应用上述公式，可很方便通过逆运算，求得j值，如下所示：
其中Log10 表示以 10为底的对数, 且
A = 71.498068,
B = 94.593053,
C = 41.912053,
D = 9.8247004,
E = 0.28175407,
F = -1.1878455,
G = -0.18014349,
H = 0.14710899,
I = -0.017046845.
2、在应用计算机程序进行运算中，以上公式最好选用双精度。
3、还有其他的可选方法计算JND索引值。一种方法是用数字运算如在Numerical Recipes in C(Cambridge University press, 1991)中描述的Van Vijngaarden-Dekker-Brent方法。J值可通过灰度标准显示函数的公式L(j)进行迭代得到。另一种方法是应用灰度标准显示函数的j和L值列表，通过表中两个相近的lj值对进行线性插值，求出与任意L对应的j。
4、并未特别说明函数是如何实现的。这些通过直接执行函数动态实现，或通过离散值，如LUT。
附录B列出了对1023个整数JND指数计算得到的亮度级。图7-1表示灰度标准显示函数的图形。当然，亮度级的精确值取决于起始级的0.05 cd/m2。
显示系统的特性曲线体现了显示系统DDL函数产生的亮度和环境亮度的影响。特性曲线通过标准测试体模（见附录D）得到。总的来说，显示函数描述了如下方面：
a) 对发射式显示器如CRT显示器/数字显示控制系统的DDL函数测得的亮度（包括环境亮度）
b) 依赖于DDL的具有光学密度的挂在灯箱前的透射媒介的DDL函数测得的亮度（包括环境亮度）
c) 依赖于DDL的具有反射密度被办公室光线照亮的漫反射媒介的DDL函数测得的亮度（包括环境亮度）
系统可通过内在的或外在的方式进行配置（或校准）以确保特性曲线与灰度标准显示函数的一致。
一些显示系统可根据环境光情况进行自我调节。如果这种显示系统不具备自动调整显示函数的能力，则它只能遵从一种环境亮度级别的灰度标准显示函数。
7.2 透射硬拷贝打印机
对于透射硬拷贝打印机，亮度L和打印的光学密度的关系为：
其中
是未放置胶片时的灯箱亮度，
是胶片反射环境亮度所作出的贡献
如果胶片以Dmin到Dmax的密度范围打印，最终的亮度范围是：
J值的范围将为jmin = j(Lmin) 到 jmax = j(Lmax)
如果j值的范围用N位P-值表示，即从jmin对应为0到 jmax对应为2N-1，相应的j值如下：。
（此方法很相似于CT中的窗宽和窗位的意思——冯树理注）
最后，将L(j(p))转化为密度，结果为：
注：透射硬拷贝打印机的典型参数值为：
= 2000 cd/m2
= 10 cd/m2.
7.3 反射硬拷贝打印机
对于透射硬拷贝打印机，亮度L和打印的光学密度D的关系为：
其中： 是在所显示的亮度的漫反射中可得到的最大亮度。如果胶片以Dmin到 Dmax的密度范围打印，最终的亮度范围是：
，
如果j值的范围用N位P-值表示，即从即从jmin的0到 jmax的2N-1，相应的j值如下：
相应的L值为L(j(p))。
最后，将L(j(p))转化为密度，结果为：
注：反射硬拷贝打印机的典型参数值为： = 150 cd/m2.
8 参考资料
1) Barten, P.G.J., Physical model for the Contrast Sensitivity of the human eye. Proc. SPIE 1666, 57-72(1992)
2) Barten, P.G.J., Spatio-temporal model for the Contrast Sensitivity of the human eye and its temporalaspects. Proc. SPIE 1913-01 (1993)
图. 7-1. 以亮度对数和JND-指数表示的灰度标准显示函数
附录A （背景知识）灰度标准显示函数的引出
A.1. 选择灰度标准显示函数的基本原理
在选择灰度标准显示函数时，指导性的考虑是在整个感兴趣的亮度范围内，存在唯一的连续线性数学函数。相应的，为了灰度标准显示函数实现的简化，它应可用唯一的数对表定义。作为第二目的，希望灰度标准显示函数可对具有不同亮度范围的显示系统进行类似的灰度显示，并且可为显示系统提供可方便实用的DDL。
为实现上述的第二个目的，可将感知线性的概念引入灰度标准显示函数；然而，其自身并未考虑此目的。事实上，通过一个数学函数将不同观察条件下的所有医学图像进行感知线性化是很复杂的，除此之外，大部分医学图像都是通过面向非标准临床应用的特定显示函数重现的。
可以直观的假设，不同显示系统的感知线性化图像可被视为是相似的。为达到感知线性化，需要人类视觉系统响应的模型并选择Barten模型[A1]。
早期的实验表明，从人类视觉系统响应的Barten模型建立的显示函数可得到相当好的反等式以及相似性。使用的图像为正方形体模，SMPTE体模和Briggsí体模[A2]。
希望将显示系统的DDL与感知线性等级进行关联，主要是为了有效利用输入水平。如果数字化水平导致亮度或光学密度级别在感知上无法区分，则他们是无用的。如果他们相距很远，观察者会看到等高线。因此，保留了感知线性化的概念，此概念不是灰度标准显示函数的目的，而是为了测量是否很好的实现了目的。
严格来讲，仅仅那些很简单的图像，如在标准背景下的正方形体模，可实现感知线性化。然而，从简单测试体模试验中得出的感知线性化显示函数的概念可以成功的应用于文献[A3-A8]中描述的复杂图像上。虽然公认对所有的细节或空间频率以及物体大小不能同时进行感知线性化，在复杂图像中，对接近人类相对灵敏度的频率和物体大小进行感知线性化是可行的。
有限的（未发表的）试验表明，对于在不同环境中具有很宽的亮度范围的复杂图像中的特定细节的感知线性化，要求显示函数在图像的暗区非常弯曲，并且该显示函数在显示系统的低亮度和高亮度区域不再是连续、单调函数。此试验是在其他标准组建议的CIELab曲线下进行的。
其他试验和对计算机X线摄影的观察表明，当同样的特定应用函数与显示系统的log-linear特性曲线相结合后，不同亮度的显示系统可得到相似的灰阶重现结果。如果不是对照相等的话，这种相似可由直线形状的、与亮度无关的显示函数得到。
尽管选择那些简单的log-linear显示函数作为标准在感觉上没什么两样，但出于以下考虑并未这样做。
对于具有很高视频带宽的高分辨率显示系统，由于其他技术限制，数字分辨率局限于8到10bit。灰度标准显示函数与显示系统特性曲线的偏差越大，观察感知点可利用的DDLs就越差。CRT显示系统的特性曲线关于log-linear直线具有凸曲率。与log-linear显示系统相比，它与从人类视觉模型得出的显示函数和感知线性化概念更接近。
可以想象，当使用特定应用显示过程使得显示函数与灰度标准显示函数偏差很大时，函数并不提供很好的相似性。这种情况下，其他函数可能提供更好的相似性。
在概述中，从人类视觉系统的Bartenís模型导出显示函数，以得到在log-linear响应时曲率下降的唯一的连续数学函数，以及使在复杂背景中的具有很宽亮度范围的图像可感知线性化的显示函数。其他的人类对比灵敏度的模型可能会提供更好的函数，但并未经过评估。感知线性化的概念为满足灰度标准显示函数的第二个目的而提出，但并不是灰度标准显示函数本身要实现的目标。一般认为，良好的函数应满足这些目的。几乎任何单一的标准数学函数都可在通讯网络的显示系统中改善图像的重现。
A.2. BARTEN模型的详细资料
Barten’s模型考虑到了神经噪声，侧阻力，光子噪声，外部噪声，有限结合能力，光学传递传递函数，方向性和时间滤波。神经噪声表现了在高空间频率的相对灵敏度上限。由于原始信号的低通空间滤波作用减少，低空间频率被神经节细胞的侧阻力所衰减。光子噪声由光通量h的波动定义，瞳孔直径为d，眼睛的量子探测效率为ç。根据deVries-Rose定律，在低亮度级，对比灵敏度与亮度的平方根成比例。模型中所用的临时结合能力由常数T = 0.1 sec表示。不包括时间滤过效果。除了时间结合能力，眼睛还有有限的空间结合能力。在不同的噪声环境中，眼睛结合信息时具有最大视角XE xYE，并且有最大的周期数NE。光学调制传递函数为：
（A1）
（ 为空间频率，单位为c/deg）是从高斯点扩散函数导出的，包括晶状体光学性质，光学介质的偏射光，视网膜的漫射，感受器元素的离散性质，以及瞳孔直径主要依赖的元素即球面像差 。 是 在瞳孔最最小值时的值。外部噪声可从现实系统噪声和图像噪声得到。对比灵敏度近似以正弦形势变化，测试体模的方向为0和90度时灵敏度取最大值，在45度时灵敏度取最小值。对比灵敏度的区别仅体现在高空间频率区。效果通过结合能力的变化来模拟。
这些效果结合起来产生了以空间频率为自变量的对比度函数：
（A2）
噪声的影响体现在第一个括号里的平方根项，即与光子变化相应的噪声对比度（第一项），滤过神经元（第二项），以及外部噪声。眼睛的照度IL =ð/4 d 2L以光子[td]表示，d为瞳孔直径（mm），目标的亮度为L（cd/m2）。瞳孔直径由de Groot and Gebhard公式决定。
(A3)
其中(1 - F(u))2 = 1 - exp(-u 2/u02)项描述了由于侧阻力(u0 = 8 c/deg)造成的神经元噪声的低频衰减。函数(A2)表示简单的正方形靶的测试情况X0 = Y0[deg]。Öext是与外部噪声相应的对比度变化。k = 3.3, ç = 0.025, h = 357 . 3600photons/td sec deg2; 与神经元噪声相应的对比度变化Ö0 = 3 . 10-8 secdeg2, XE = 12 deg, NE = 15 周期 (at 0 and 90 deg 和 NE = 7.5 周期 在 45 deg对于频率 2 c/deg), ó0 = 0.0133 deg, Csph = 0.0001 deg/mm3 [A1].函数（A2）对于10-4 . L . 103 cd/m2, 0.5 . X0 . 60 deg, 0.2 . u . 50 c/deg.提供了很好的实验数据拟和。
代入所有常数后，函数（A2）简化为：
(A4)
其中q1 = 0.1183034375, q2 = 3.962774805 . 10-5, 且 q3 = 1.356243499 . 10-7。
当从距离250 mm远的位置观察时，标准靶的大小大约为8.7 mm x 8.7 mm，栅格的空间频率大约为0.92线对每毫米。
通过计算作为平均栅格亮度的函数的极限调制度Sj，并且将各个结果与其前面的值进行迭加，就可得到灰度标准显示函数。下一更高级别的平均亮度通过将前一级别的平均亮度Lj与调制度的峰-峰值相加就可得到。
(A5)
这样，在PS 3.14中，极限调制度的峰-峰值成为刚好可分辨亮度差别。
当一个显示系统遵从灰度标准显示函数时，在观察标准靶时是感知线性的。如果一个显示系统具有无限好的数字分辨率，P-值的相同增量会产生相同幅度的感知对比度，并且在特定的条件下，对标准靶（栅格为4 c/degree 在 2 degree x 2 degree上的正弦调制，且放在与靶平均亮度相同得标准环境中）的刚好可分辨亮度差别（一次显示一个）相同。
在每个亮度级别上显示一次标准靶是一种理论上的显示情况。大多数情况下，一幅图像中包括具有不同的亮度级的多个靶目标，并且同时具有多种亮度分布，这种情况不是感知线性的。需要再次强调的是，显示系统对标准靶的感知线性化概念是从连续数学函数引出的合理方法并且是为了满足灰度标准显示函数的第二个目的。函数可以表现通过将显示函数急剧弯曲以使复杂图像感知线性化，和通过一个log-linear显示函数在不同亮度显示系统的图像具有相似的的灰阶感觉这两方面的折衷。
显示系统的特性曲线通过{Luminance, DDL}-pairsLm = F(Dm)测量并体现。可通过一个离散变换与前面用道的DDLs进行映射。根据函数(A6)和(A7)，从Dinput到Doutput，用所有已知的离散亮度级逼近灰度标准显示函数L = G(j)。图A1说明了变换过程。这样可实现与灰度标准显示函数的一致。
(A6)
S 是对于不同输入输出数字分辨率的比例因子。
标准亮度级的序数j（一般为非整数值）由在显示系统（包括环境光）的最小亮度时的起始标准亮度级序数j0，标准JNDs值，显示系统亮度范围内的NJND，DDLs, Dinput 和数字分辨率DR决定。
(A7)
实现改变换的集体细节实例在附录D中给出。
A.3. 参考资料
[A1] P.G.J. Barten: Physical model for the Contrast Sensitivity of the human eye. Proc. SPIE 1666, 57-72(1992) and Spatio-temporal model for the Contrast Sensitivity of the human eye and its temporalaspects. Proc. SPIE 1913-01 (1993)
[A2] S.J. Briggs: Digital test target for display evaluation. Proc. SPIE 253, 237-246 (1980)
[A3] S.J. Briggs: Photometric technique for deriving a "best gamma" for displays. Proc. SPIE 199, Paper 26(1979) and Opt. Eng. 20, 651-657 (1981)
[A4] S.M. Pizer: Intensity mappings: linearization, image-based, user-controlled. Proc. SPIE 271, 21-27(1981)
[A5] S.M. Pizer: Intensity mappings to linearize display devices. Comp. Graph. Image. Proc. 17, 262-268(1981)
[A6] R.E. Johnston, J.B. Zimmerman, D.C. Rogers, and S.M. Pizer: Perceptual standardization. Proc. SPIE536, 44-49 (1985)
[A7] R.C. Cromartie, R.E. Johnston, S.M. Pizer, D.C. Rogers: Standardization of electronic display devicesbased on human perception. University of North Carolina at Chapel Hill, Technical Report 88-002, Dec.1987
[A8] B. M. Hemminger, R.E. Johnston, J.P. Rolland, K.E. Muller: Perceptual linearization of video displaymonitors for medical image presentation. Proc. SPIE 2164, 222-241 (1994)
PS 3.14 -2001
Page 15
[A9] CIE 1976
图A-1. 对现实系统的特性曲线进行变换以近似灰度标准现实函数
附录B （背景知识）灰度标准现实函数表
第7部分介绍了建立在Barten模型基础上的灰度标准显示函数，附录A给出了其详细资料。本附件给出了以亮度对照JND整数序数构成的灰度标准显示函数表。
表 B-1
附录C （背景知识）与灰度标准显示函数相一致的显示系统精确性测量
C.1.关于一致性和度量的总体考虑
为说明与灰度标准显示函数一致比诸如确定整体数字系统对DICOM消息更复杂的任务。
显示系统的最终的模拟输出要么是直接的亮度，要么是间接的光学密度。对于某些显示系统，会因显示系统的显示函数的不理想造成各种不理想的模拟输出。例如，可造成最终图像的空间不均匀（可由胶片、打印过程、或硬拷贝打印机处理过程的不均匀性造成），这种不均匀性可以测量但一般处于较低空间频率不会对诊断图像造成质量问题。
值得注意的是，CRTs和灯箱也会引入其自身的空间不均匀性。这些不均匀性在灰度标准显示函数的范围之外，并且在这里描述了测量过程。但由于它们的存在，即使在灰度标准显示函数中有良好表现的测试图像，在实际的CRTs和灯箱上也显示得并不很好。
而且，目前仍未回答“到何种程度就可认为与灰度标准显示函数足够接近”这个问题，因为答案所依赖于心里物理学的研究尚未确定当观察者面对两幅几乎一样的显示图像（如两张项当接近的胶片并列放置在灯箱上）时，显示函数怎样改变才达到“刚刚可分辨”。
而且，对于给定现实系统的评估建立在视觉测试（如在一幅或多幅测试图像中对许多低对比度目标进行评定）的基础上，或者建立在通过进行以仪器（如光度计或显像密度计）所测量数据为基础的质量分析的基础上。
甚至定量的方式结果也不尽相同。例如，简单的测量理论模拟输出（如亮度或光学密度）对P值的叠加图，沿“error bars”表示输出的期望不确定性（不可重复的变化）。作为在数学上的更好的选择，所有测得的数据点都应作为统计分析的输入。统计分析可以确定显示系统的内在显示函数，可产生出一个或多个量值来表示显示函数与灰度标准显示函数的一致程度。
在下面的部分使用了一个度量分析的实例，用确定特性曲线形状的FIT测试和度量与理想灰度标准显示函数离散度的LUM测试对测量数据进行分析。这种方法被用来定量说明特定显示系统的显示函数的改善程度。
在用这种特定的度量分析方法之前要说明的是，这只是可供选择的方法之一，并非是评价所有显示系统的最适当方法。特别的，在选择和从任意特定量度方法的结果之前要考虑以下问题。
1）实际中会有一些问题限制在分析中很有意义的P值的数量。比如，在实际应用中可以测量8比特监视器屏幕固定位置的所有256个亮度，但是测量12比特胶片打印机理论上的4096种密度是不切实际的。原因之一是胶片密度测量与CRT光度计测量法不同，是从显示区域的不同位置获取数据，所以胶片上的空间不均匀性会影响测量结果。目前的硬拷贝打印机和密度计都具有光学密度的精度限制，12比特P-值的最低有效位上的变化会导致精度的下降。总的来说，原则上选择较大的p-值可以限制与灰度标准显示函数的局部失常，但信噪比和显著性会降低。
2）如果一个特定显示系统的测量数据具有显著的噪声（当测量采用多重设置时，数据的有限重复性表明），希望使用"FIT” 和“LUM"度量之外的统计分析技术，通过利用输入数据的已知的标准偏差，防止拟合方法产生过多噪声。可参见如，在参考C1的“一般线性最小平方”部分和参考C2的“多项式最小平方Fit”部分。如果在分析中并未考虑测量噪声，拟合所用的数据点的度量返回均方根误差会误导性的很高，因为它会包括显示函数错误和测量噪声误差的联合影响。
3）如果可能的话，应在视觉测试中检查度量的灵敏度和特异性考虑。例如，在环境亮度中具有很多低对比度阶梯的数字测试体模可在实验室标准灰度标准显示函数打印机上打印，也可在经过评估的打印机上打印。打印出的胶片可并列放置在灯箱上供观察者比较。好的度量方法应和人类观察者具有一样的感知能力和可重复性，可检测到与灰度标准显示函数的偏差。例如，度量方法应和人类观察者一样检测出显示系统的特性曲线可能出现的（哪怕是仅仅一小段DDL值）过于平坦、明暗差别过于强烈或者不单调。
4）最后，除了显示系统试验数据的不可重复性，还要考虑产生变化的其他原因。例如，该变测试体模（对CRTs的时域，对打印机的空域）的P-值顺序就会产生这种结果。对于打印机，选用不同的打印介质会产生不同的结果。在这些变化中保持结果稳定的度量方法，其结果更俱可信性。
C.2. 方法
步骤（1）
测试显示系统的特性曲线应尽可能多的用实际测量决定(见D.1, D.2和D.3)。利用灰度标准显示函数，可对每个P-值的亮度间隔计算JND的非整数值。JND/亮度间隔可以直接求得，也可以通过迭代求得。例如，如果每个亮度间隔只有少量的JND，可以利用线性插值。在对显示系统的灰度响应进行变换后，与每个P-值相应的亮度级为Li，相应的标准亮度级为Lj；dj指定了对给定P-值的灰度标准显示函数的JND/亮度间隔。于是，对于变换后的显示函数的JND/亮度间隔为：
此外，一种迭代方法可用来计算每亮度间隔的JND值，仅需要定义亮度的JND步长的灰度标准显示函数给出亮度值。可通过计算亮度间隔的所有JND步长，再求出剩余的部分。以亮度间隔的低值端为起点，通过灰度标准显示函数计算每一JND步长所需的亮度步长。然后在单一的JND步长内从低亮度值到高亮度值步进，直到超过亮度值的最高值范围。计算最后一步的JND的非整数部分。所有整数的JND步数与最后一步中的非整数部分的和就是两度间隔内JND的非整数步长数。
将亮度间隔序数（横轴）与每亮度间隔的JND数（纵轴）关系绘制成图像。此曲线可作为亮度间隔与JND曲线参考。图C-1是亮度间隔与JND曲线的一个实例。采用线性回归时图像与水平线匹配的很好。
图C-1. LUM和FIT的一致性测试
JND/亮度间隔数据可通过两个统计量进行评价[C4]。第一个评价测试显示函数与灰度标准显示函数的整体匹配情况。第二个测试局部的分析灰度标准显示函数对测试显示函数的逼近情况。
步骤（2）
在对数据进行标准多线性回归检验后，再进行两个相关的回归分析测试[C3]。第一个称为FIT测试，以使得测试亮度分布的亮度间隔与JND曲线与不同级数的多项式拟合。灰度标准显示函数可通过整个亮度股范围内的每个亮度间隔的一个JND确切表示。这样，JND/亮度间隔数与亮度间隔序数的关系可理想的用具有恒定值的JND/亮度间隔水平线确定，在整个给的亮度范围内局部和整体的JND/亮度间隔均值是恒定的。如果曲线与高阶曲线匹配的更好，说明分布并不与灰度标准显示函数十分逼近。回归分析可通过三阶曲线进行比较测试。
第二种称为亮度一致度量(LUM)，分析在亮度范围内亮度步长是否与感知步长相一致。通过由JND/亮度间隔水平线确定的拟合曲线的方均根误差测试。JND/亮度间隔的方均根误差越小，测试显示函数在细微级上与灰度标准显示函数越逼近。FIT 和 LUM测试都用标准统计软件包方便的计算。
如果测试亮度分布通过了FIT测试，则分布质量的测试由JND/亮度间隔与其均值的标准偏差的定量测试决定。希望临床应用决定FIT和LUM值的规定公差。
实现测试显示函数与灰度标准显示函数非常逼近的一个重要因素是显示系统离散输出水平的数量。例如，LUM测试可通过使用已知的DDL子集进行改进，通过损失对比度来保证所有输出的数字分辨率。
虽然LUM测试受选择灰度标准显示函数离散输出的灰阶的影响，输出水平的适当取值由临床应用决定，包括与灰度标准显示函数标准化无关的可能的灰阶图像处理。这样，PS 3.14并未给出输出灰阶的确定值。然而一般来讲，可分辨的灰阶数量越大，图像的质量越高，因为对比分辨率提高了。一般推荐，在显示系统标准化之前确定对于变换过的显示函数的必需的输出驱动水平数量，这样此信息可在进行变换计算时使用，以避免使用不能满足要求的输出水平的灰阶分布。
C.3. 参考资料
[C1] Press, William H, et al., Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, 1988, Section"General Linear Least Squares"
[C2] Bevington, Phillip R., Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, McGraw-Hill,1969, the chapter "Least-Squares Fit to a Polynomial" .
[C3] Kleinbaum DG, Kupper LL, Muller KE, Applied Regression Analysis and Other Multivariable
Methods, Duxbury Press, 2nd Edition, pp 45-49, 1987.
[C4] Hemminger, B., Muller, K., "
erformance Metric for evaluating conformance of medical image
displays with the ACR/NEMA display function standard", SPIE Medical Imaging 1997, editor Yongmin Kim,vol 3031-25, 1997.
附录D（背景知识）实现与灰度标准显示函数的一致
以下部分阐述对于发射型显示系统（软拷贝）和在投射、反射介质上重现图像的系统（硬拷贝）怎样实现与灰度标准显示函数的一致性。每一部分包括四个子部分，分别为：1）测试系统特性曲线的程序，2）灰度标准显示函数在显示系统亮度范围内的应用，3）灰度标准显示函数的执行，和4）附录C中介绍的一致性度量的应用。
需要强调的是，有很多方法可配置显示系统或改变其性能以使之与灰度标准显示函数一致。事实上，一个显示系统可以自动校准以保持与标准的一致。因此，以下三个说明仅仅是实例而已。
可用光度计测量任意显示系统的亮度，无论是硬拷贝还是软拷贝。光度计应具有以下特点。
- 在其使用范围内保持在绝对亮度级3%以内的精度或
- 在其使用范围内的任意亮度级具有最小有效数字至少两倍的相对精度
- 在任意亮度级保持显示系统最小测量亮度的十分之一的精度
- 具有足够小的可接受角度以仅包括测量野，不与背景环境相重叠
注：光度计可以（通过吸盘）直接与显示表面接触，也可与显示表面保持一定的距离。如果为后者，光度计应对包括测试体模背景光的外部光源进行阻挡。
对于胶片显示系统，光度计可用来测量背景照度和放置胶片的灯箱亮度。胶片显示系统的亮度特性可直接通过光度计测量，也可间接的通过测量胶片的光学密度和背景照度以及灯箱亮度得到
D.1 发射型显示系统
D.1.1 系统特性曲线的测量
在测量发射型显示系统的亮度特性响应之前，应按制造商的推荐对系统预热，并调整系统使之符合制造商制定的性能规格。特别是应该用显示系统制造商提供的调整显示的黑白水平的程序。此目的是在不引入伪影的同时将显示的亮度范围最大化，从而使JND值尽可能的高。
注：可通过观察SMPTE体模5%和95%的正方形来测试系统是否设置得当。5%和它旁边的0%的正方形间的感知对比度，应与95%和白色正方形间的感知对比度相等。
可用以下结构的测试体模测量显示系统的特性曲线：
放置在显示器中间的正方形测试野，包括显示器像素总数的10%。
目标周围是为最大亮度的20%的全屏幕标准背景
注：用包括显示器像素总数的10%，周围设置为最大亮度的20%的测试野，散射进监视器的内部光线产生的亮度范围与无线电波图类似，如在CRT上显示的胸部摄影。
图D.1-1. 在低亮度背景中间的测试体模具有变化的亮度正方形
注：
1、例如，在具有5兆像素，2048*2560大小的显示系统上，靶目标应为边长为724像素的正方形。
2、理想的测试体模应覆盖整个屏幕。在具有窗操作的环境下，很难从显示器上将用户界面对象消除，特别是在屏幕顶部的菜单栏。在这种情况下，背景应尽可能的充满屏幕。
显示系统的特性曲线由以下方面决定：
- 关掉所有环境光（仅在使用吸盘式光度计或手持光度计在显示器屏幕造成阴影时必须这样做）；
- 显示上述体模
- 将测试野的DDL设置为一系列的不同值，从0开始逐步增加直到达到DDL的最大值
- 使用光度计测量并记录测试野在每一要求值的亮度
正如在附录C中讨论的，测试中选择的DDL的数量和分布必须满足在亮度范围内显示系统特性曲线精度的要求。
注：
1、如果使用手持光度计，应将其与显示屏幕保持一定距离，这样测得的是测试野中心的亮度，而不与周围环境相重叠。此距离可通过光度计制造商提供的接受角度说明进行计算。
2、DDL数量和分布的精确值应建立在现实系统特性和对系统特性曲线选用的数学插值方法的基础上。建议在此过程中至少用64个不同的值。
3、系列的亮度测试应保持一定时间间隔，以使显示系统达到稳定状态。在进行DDL为0的初次测试前使系统稳定下来尤其重要。
正如在标准章节中所阐述的，当配置显示系统以与灰度标准显示函数相一致时，特性曲线必须包括环境光的影响。
如果使用不会在屏幕上产生阴影的手持光度计测试特性曲线，环境光和显示器产生的亮度将被同时测量。
当使用吸盘式光度计或在可屏幕上产生阴影的手持光度计测量亮度时，在测量特性曲线时应将所有的环境光关闭。应单独测量环境光的影响。将显示系统关闭，打开环境光，通过与显示器屏幕保持一定距离的光度计测量散射到屏幕的环境光的亮度，这样光度计的接收角度可包括屏幕的主要部分，并且测量不受屏幕外区域亮度的直接影响。与环境光相关的亮度加入到前面测得的显示系统亮度水平中去，这样可确定系统的有效特性曲线。
注：环境光状况的改变要求重新调整显示子系统以保持与标准的一致。
以下是测量和变换透射式显示系统的例子。此例中的显示系统是具有显示控制器的CRT监视器。假设显示控制器允许DDL以8比特的输入精度和10比特输出精度变换。
用一个窄(1o)接受角度的光度计测量亮度。环境光水平被尽可能的调低。不存在局部的强光。
1）在将测试野的DDL设置为使其产生最高亮度并将环境DDL设置为DDL范围的中值时可测量最大亮度。在此项测试中，计算亮度与测试野周围环境最大亮度的20%的差。
2）关闭环境光。将光度计置于图D.1-1所示的测试体模的测试野中央，以1为步长在0到255间改变输入水平Dm来测量亮度。假设的显示控制器的变换算子对输入进行8比特、输出进行10比特的线性映射。测得的数据体现了给定操作状态和测试体模的特性曲线L =F(Dm)。
接下来，关闭CRT显示器，打开环境光。将光度计放置在距CRT足够远的中心轴位置上，这样不会在CRT屏幕上产生阴影，同时光度计的光圈可以阻止从CRT大部分表面散射来光线。将环境光在CRT表面产生的0.3 cd/m2的亮度加入到没有环境光影响的特性曲线测得的亮度值内。结果在表D.1-1中列出，并绘制在图D.1-2中。
图D.1-2. 发射型显示系统的包括环境光的特性曲线测试结果
表D.1-1
D.1.2 标准公式的应用
图D.1-3.示出了CRT监视器显示系统亮度范围的灰度标准显示函数的一部分。与JND序数的最值， 和 ，相应的最小和最大亮度级。这样，对于标准靶（见标准的第六章），理论上有420个刚好可分辨亮度差别。很明显，具有8比特输入数字分辨率，可实现最佳的256级显著亮度增量。
D.1.3 标准的执行
测得的特性曲线对可用输出水平 进行内插，这样可产生1024级亮度 灰度标准显示函数再也在 和 （ ）间进行内插，产生1024标准亮度级 。内插的方法很多，这里采用acubic样条技术。
对于每一个 ，可决定最相近的 。数对I,J定义了 和 (Table D.1-2)间的变换，显示系统的亮度响应通过这种变换对灰度标准显示函数进行逼近。
表D.1-2
显示系统校准查询表
D.1.4 一致性的测量
用附录C中提出的FIT 和 LUM度量来确定宏观和微观的近似值LJ,m和 LI,STD。图D.1-3示出了灰度标准显示系统的高阶感知线性显示函数，图D.1-4概括了两种度量的结果。FIT得到了近乎水平线拟合的整体良好拟合。RMSE是可接受的。全部255个P-值间隔产生了标准靶变换后显示系统的JND。
图D.1-3.特性曲线的测量和内插。灰度标准显示函数和发射型显示系统的变换显示函数。变换显示函数与灰度标准显示函数的匹配，两条曲线重叠无法区分。
图D.1-4. 发射型显示系统的变换显示函数一致性的LUM 和FIT测量
D.2 透射硬拷贝设备
D.2.1 系统特性曲线的测量
用激光打印机（包括处理器）作为透射性硬拷贝设备的代表，激光打印机可在透射性胶片（一般尺寸为14” x 17”）上打印（曝光并处理）一幅或多幅图像。这种胶片最终放置在暗室的灯箱上进行观察。
可通过打印包括具有N条栅的体模的测试图像来或取透射性硬拷贝设备的特性曲线，每一条栅都具有特定的值（DDL）。用投射式光度计测量打印的每条栅的光学密度。
为精确的定义打印设备的特性曲线，n值应尽可能的大（以尽可能多的获取特性曲线上的点）。然而，由于打印设备、处理器、或介质工艺对绝对可重复数量的影响，只有有限的N值可利用（为防止对变化很敏感的一致性量度不稳定或没有意义，因为当栅条变大时，相邻栅的密度差会隐没在噪声中）。
测试图像的一个例子是具有32个近似等高栅条的体模，放置在胶片的可用打印区域内，得到下面的32个近似等间距的DDL：
图D.2-1. 透射性硬拷贝介质测试体模的布局
为对具有N比特输入的打印系统定义具有n个DDL的测试体模，# I阶的DDL可设置为：
四舍五入为最近的整数。
的列表值和相应的光学密度值 构成了打印设备的特性曲线。
D.2.2 灰度标准显示函数的应用
透射硬拷贝设备产生的胶片经常被送至不同的场所，在各种不同的观察环境中的各种灯箱上观看。因此PS 3.14对透射硬拷贝设备定义了应产生何种密度，并在一般灯箱亮度范围参数和其他观察参数的基础上，提供了对透射硬拷贝设备应用灰度标准显示函数的方法。
下例中用到了以下特定参数：
（未放置胶片时的灯箱亮度）: 2000 cd/m2
La (胶片反射的室内环境光): 10 cd/m2
Dmin (胶片上可测最小光学密度): 0.20
Dmax (胶片上最大理想光学密度): 3.00.
从灰度标准显示函数建立期望OD值表的过程从定义亮度范围和JND序数j的相应范围开始。亮度的最小和最大值分别给出：
cd/m2
(D.2-2)
cd/m2
(D.2-3)
下面，计算相应的JND序数值， jmin和 jmax。对于本例，我们得到：
jmin= 233.32
(D.2-4)
jmax = 848.75
(D.2-5)
这样我们得到了打印设备应覆盖的j值范围。打印设备应使其最小输入(P-Value = 0)与jmin 和相应的 Lmin进行映射；应使其最大输入(P-Value = 2N-1，其中N为输入的比特数)与jmax 和相应的Lmax进行映射。中间的输入应与相应的输入映射。
(D.2-6)
亮度的靶目标值由标准公式L(j(P-Value))给出。此“靶目标”由对在特定L0 条件下给出期望亮度L(j(P-Value))的P-值产生的光学密度OD 和前面定义的La组成。
(D.2-7)
D.2.3 灰度标准显示函数的执行
将本例应用到其他特定条件的8比特输入的打印设备可产生下表，表中定义了对256个中每一个可能的P-值产生的OD。
表D.2-1 对8比特打印设备每一个P-值的光学密度
图D.2-3. 对8比特打印设备绘制OD与 P-值关系曲线
D.2.4. 一致性的测量
作为示例，将具有32种光学密度的栅条体模打印在透射介质上（胶片）。预先将打印设备的打印密度范围设置为从0.2 (Dmin) 到 3.0 (Dmax)并由制造商根据用灰度标准现实函数进行配置，由制造商根据上述的P-值与靶密度值关系表进行修改。
测试体模由32根水平栅条构成的8比特图像。32根栅条所用的32个P-值为：0, 8, 16, 25, 33, 41, 49, 58, 66, 74, 82, 90,99, 107,115, 123, 132, 140, 148, 156, 165, 173, 181, 189, 197, 206, 214,222, 230, 239, 247, 255。
对于给定的胶片，测量32根栅条的光学密度（靠近胶片中部），并转化为亮度（用前面描述的灯箱亮度和反射环境光标准参数），并通过数学处理从j(L)到 L(j)将其转化为JND序数，其中L(j)是亮度L关于JND序数j的灰度标准显示函数。对于31个连续测量值间隔中的任一个，“每P-值增量的JND”的计算值可通过该间隔内JND值的变化与P-值变化的商得到。（在此计算中，密度，L和j 都是浮点数。不进行四舍五入，故不会引入舍入误差）。
在本例中，胶片数据可被水平线很好的拟合。也就是说，计算的“每P-值增量的JND”基本上是为2.4的常数。数学拟合产生了轻微的非零倾斜（特别是当P-值从0到255时从2.5变化到 2.3），但整体上相差的0.2与31个独立的“每P-值增量的JND”值显现的噪声相比要小得多。（“噪声”是指两次测量数据间的随机的不可重复变量）
没有进行视觉测试以检验这么小的倾斜在两幅并列的胶片中能否被人类观察者检测出。
如果仅仅考虑仅仅32个原始绝对测量密度（而不是微小差别上的不同值），靶目标和测量的光学密度（作为给定密度，在制造商规定的密度精度内）很一致。但是如果使用小间隔上不同信息产生的量度，必须更慎重的考虑结果，因为他们可受与设备真实（或多次平均）性能无关的不完整性的严重影响(或控制)。
D.3 反射显示系统
最后的示例说明热染打印设备/办公室灯光系统是怎样与灰度标准显示函数实现一致的。热染打印设备可在半光滑的8-inch x 10-inch重规格纸上产生黑白灰阶。打印设备由荧光灯均匀照亮，所以最小的反射密度产生150 cd/m2的亮度。假设的变换因子的输入和输出的数字分辨率都是8比特。
D.3.1. 系统特性曲线的测定
用具有64阶灰度表的打印设备打印DDL4, 8, 12, ...,248, 252, 255。通过光度计测量相应的光学密度（从0.08 到 2.80）。在图D.3-1中绘出了与测得光学密度对应的亮度级和照明条件。
图D.3-1 测量并进行内插的特性曲线及生成反射硬拷贝的灰度标准显示函数
D.3.2. 灰度标准显示函数的应用
最后的示例说明热染打印设备/办公室灯光系统是怎样与灰度标准显示函数实现一致的。热染打印设备可在半光滑的8-inch x 10-inch重规格纸上产生黑白灰阶。打印设备由荧光灯均匀照亮，所以最小的反射密度产生150 cd/m2的亮度。假设的变换因子的输入和输出的数字分辨率都是8比特。
D.3.3 灰度标准显示函数的执行
根据可用的DDL产生的256个亮度级LI,m对测得的特性曲线进行内插。灰度标准显示函数也在产生256个标准亮度级LI,STD.的JNDmin和 JNDmax ( )间进行内插。
对每一个LI,STD，测量最近的LJ,m。数据对I,J定义了从Dinput 到 Doutput (Table D.3-1 和 Fig. D.3-2)的变换，显示系统的亮度响应通过这种变换逼近灰度标准显示函数。
图D.3-2 打印设备的特性曲线变换为显示函数与灰度标准显示函数逼近
表D.3-1
反射硬拷贝设备校准值表
D.3.4 一致性的测量
用附录C中提出的FIT 和 LUM度量来确定宏观和微观的近似值LJ,m和LI,STD。图D.3-3示出了灰度标准显示函数的高阶感知线性显示函数，图D.3-4概括了两种度量的结果。FIT得到了JND/亮度间隔的近乎水平线的变换后显示函数对灰度标准显示函数的整体良好拟合结果。由LUM 计算的RMSE相对较大，说明局部对灰度标准显示函数的偏差较大，例如插图D.1中的软拷贝显示系统。至少在局部，较大的RMSE是由于变换的输入输出数字分辨率是相等的。变换表(Table D.3-1)和图D.3-2表明一些P-值在变换显示函数中产生相同的亮度级。事实上，255个亮度间隔中仅有205个对标准靶产生JND。
图D.3-3. 反射硬拷贝显示系统的变换显示函数和高阶灰度标准显示函数。显示系统的变换显示函数与灰度标准显示函数相匹配，两条曲线重叠无法区分。
图D.3-4 具有输入输出同为8比特数字分辨率的反射硬拷贝显示系统的一致性测量
附录E（背景知识）环境光下显示系统的JND可实现范围
动态范围是显示系统的常用信息量量度。然而，动态范围的定义很多，绝大多数定义没有考虑在现实世界中环境对可用灰阶像素体现的信息的影响。例如，Poynton [E1]代表灰阶显示设备的对比度率，即特定显示设备的最亮的白和最暗的黑间的显示密度比率。然而，动态范围的定义应用于理想的观察条件下。真实世界的观察条件如模糊闪烁、噪声、图像空间频率、电源饱和以及观察位置的CRT上的环境光线都会使系统的测量动态范围降低[E2, E3]。由于这些影响，动态范围对于显示系统而言是个病态定义。
注：模糊闪烁是由于CRT内部光线反射产生“背景光”使CRT设备对比度范围降低的现象。
确定显示系统的显示函数与灰度标准显示函数近似程度的方法同样可用来定义两种量度，以描述显示系统表达信息的能力。这两种量度，即理论上的JND和实际实现的JND，可用来对显示系统进行比较〉[E4]。
理论可得的JND数目就是显示系统亮度范围给出的视觉模型的预知JND数目。显示系统的理论可得JND数目可通过计算显示系统最小最大测量亮度值间的JND数目，从附录B中的表B-1中查得。
由于显示系统其他部分的分辨率限制，特别是驱动显示系统的每像素的比特数的量子分辨率有限，JND的数目可能无法得到。 例如，附录B中表B-1示出的特定显示系统有能力传送352个JND。然而，如果显示系统每像素仅为8比特，由于量子化的影响JND的数目不会超过28 = 256个。事实上，显示系统可实现的JND数目总是小于理论可实现JND数目和量子化极限。这是因为显示系统的量子化输入无法达到实现下一个JND的要求输入值。
实际可用JND的数目越多，说明实际得到了多少JND以给出显示系统的细节（对比分辨率的灰阶数和亮度值的分布）。此定义给除了系统实际可表达给观察者的信息的量度，本质上是信息的动态范围。此数值从显示系统的最小亮度值开始计算，从当前亮度值开始每级增长一个JND，选择实现每一步的DDL值的最小增量。在所有可用DDL中重复此过程会产生一序列的步进，至少相隔1JND，步进序列的长度为显示系统实际可用的JND数。
PS 3.14的方法不能很好的模拟现实世界因素在显示系统中造成的衰减。然而，确定实际JND数目的标准方法可以特定显示系统的实际性能的量度，可被观察者在现实观察条件下使用显示系统时所感受，如在医院中观察发射学影像。
参考资料
[E1] Poynton, C. "Frequently Asked Questions about Gamma",Internet
ftp://ftp.inforamp.net/pub/users/poynton/doc/colour/gammaFAQ.pdf
[E2] Roehrig, H., Blume, H., Ji, T. and Browne, M.; "
erformance Tests and Quality Control of CathodeRay Tube Displays"; J. Digital Imaging, Vol. 3, No. 3, August 1990; pp. 134-145.
[E3] Gray, J.; "Use of the SMPTE Test Pattern in Picture Archiving and Communication Systems"; J.Digital Imaging, Vol. 5, No. 1, February 1992; pp. 54-58.
[E4] Hemminger, B., Muller, K., "
erformance Metric for evaluating conformance of medical imagedisplays with the ACR/NEMA display function standard", SPIE Medical Imaging 1997, editorYongmin Kim, vol 3031-25, 1997.
